Question

對于數列A：a₁，a₂，a₃(a_i∈N，i＝1，2，3)，定義“T變換”：T將數列A變換成數列B：b₁，b₂，b₃，其中b_i＝|a_i－a_i+1|(i＝1，2)，且b₃＝|a₃－a₁|．這種“T變換”記作B＝T(A)．繼續對數列B進行“T變換”，得到數列C：c₁，c₂，c₃，依此類推，當得到的數列各項均為0時變換結束．

(Ⅰ)試問A：2，6，4經過不斷的“T變換”能否結束？若能，請依次寫出經過“T變換”得到的各數列；若不能，說明理由；

(Ⅱ)設A：a₁，a₂，a₃，B＝T(A)．若B：b，2，a(a≥b)，且B的各項之和為2012．

(ⅰ)求a，b；

(ⅱ)若數列B再經過k次“T變換”得到的數列各項之和最小，求k的最小值，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)解：數列不能結束，各數列依次為；；；；；…． 　　以下重復出現，所以不會出現所有項均為的情形．3分 　　(Ⅱ)解：(ⅰ)因為的各項之和為，且，所以為的最大項， 　　所以最大，即，或．5分 　　當時，可得 　　由，得，即，故；7分 　　當時，同理可得，；8分 　　(ⅱ)方法一：由，則經過次“變換”得到的數列分別為：；；；；；． 　　由此可見，經過次“變換”后得到的數列也是形如“”的數列，與數列“結構”完全相同，但最大項減少12． 　　因為， 　　所以，數列經過次“變換”后得到的數列為． 　　接下來經過“變換”后得到的數列分別為：；；；；；；，…… 　　從以上分析可知，以后重復出現，所以數列各項和不會更小． 　　所以經過次“變換”得到的數列各項和最小，的最小值為；13分 　　方法二：若一個數列有三項，且最小項為，較大兩項相差，則稱此數列與數列“結構相同”． 　　若數列的三項為，則無論其順序如何，經過“變換”得到的數列的三項為(不考慮順序)． 　　所以與結構相同的數列經過“變換”得到的數列也與結構相同，除外其余各項減少，各項和減少． 　　因此，數列經過次“變換”一定得到各項為(不考慮順序)的數列． 　　通過列舉，不難發現各項為的數列，無論順序如何，經過“變換”得到的數列會重復出現，各項和不再減少． 　　所以，至少通過次“變換”，得到的數列各項和最小，故的最小值為；13分