Question

已知函數(shù)和，且.
（1）求函數(shù)，的表達(dá)式；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，；（2）.

試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查分類討論思想和運(yùn)算能力.第一問(wèn)，先求函數(shù)與的導(dǎo)數(shù)，由于，所以列出等式，解方程求出的值，由于的值有2個(gè)，所以分情況分別求出與的解析式；第二問(wèn)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824023413416359.png" style="vertical-align:middle;" />，所以第一問(wèn)的結(jié)論選擇的情況，所以確定了與的解析式，當(dāng)時(shí)，是特殊情況，單獨(dú)考慮，只需在時(shí)大于等于0即可，而當(dāng)時(shí)，，所以只需判斷的單調(diào)性，判斷出在時(shí)，取得最小值且最小值為，所以.
試題解析：(1)由，得，
由，得.
又由題意可得，
即，故或.
所以當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，.(6分)
(2) ，，.
當(dāng)時(shí)，，
在上為減函數(shù)，；
當(dāng)時(shí)，，
在上為增函數(shù)，，且.
要使不等式在上恒成立，當(dāng)時(shí)，為任意實(shí)數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
而．
所以. (13分)