Question

（2013•棗莊二模）已知拋物線x²=2py上點（2，2）處的切線經過橢圓E：

y2

a2

+

x2

b2

=1(a＞b＞0)的兩個頂點．
（1）求橢圓E的方程；
（2）過橢圓E的上頂點A的兩條斜率之積為-4的直線與該橢圓交于B、C兩點．請問：是否存在一點D，使得直線BC恒過該點？若存在，請求出定點D的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，過點A作直線BC的垂線，垂足為H，求點H的軌跡方程．

Answer 1

分析：（1）利用導數求出拋物線在點（2，2）處的切線方程，得到橢圓的兩個頂點坐標，則橢圓方程可求；
（2）設出過A點的兩條直線的斜率，寫出兩條直線AB和AC的直線方程，和橢圓方程聯立后求出B和C兩點的坐標，結合斜率之積等于-4可以證明直線BC所在的直線方程為y=

k12-4

2k1

x，從而說明直線BC過定點（0，0）；
（3）設出H的坐標，由題意可知

AH

•

OH

=0，代入坐標后可得H的軌跡方程．

解答：解：（1）將（2，2）代入x²=2py，得4=4p，所以p=1，故拋物線方程為x²=2y．
即y=

1

2

x2．
y對x求導得y^′=x，所以拋物線x²=2y上點（2，2）處的切線的斜率為y^′|_x=2=2．
所以拋物線在點（2，2）處的切線方程為y-2=2（x-2），即y=2x-2．
它與兩坐標軸的交點分別為（1，0），（0，-2）．
由題意可知，a=2，b=1．
所以橢圓E的方程分別為

y2

4

+x2=1；
（2）假設直線BC恒過定點D．
設直線AB的斜率k_AB=k₁，直線AC的斜率k_AC=k₂，則k₁k₂=-4．
從而直線AB的方程為y=k₁x+2．
聯立

y2 4 +x2=1 y=k1x+2

，整理得(k12+4)x•(x+

4k1

k12+4

)=0．
從而點B的橫坐標xB=-

4k1

k12+4

，yB=k1•(-

4k1

k12+4

)+2=

2(4-k12)

k12+4

．
所以點B的坐標為(-

4k1

k12+4

，

2(4-k12)

k12+4

)．
同理點C的坐標為(-

4k2

k22+4

，

2(4-k22)

k22+4

)．
于是，xB=-

4k1

k12-k1k2

=

4

k2-k1

，yB=

2(-k1k2-k12)

k12-k1k2

=

2(k2+k1)

k2-k1

．
xC=-

4k2

k22-k1k2

=

4

k1-k2

，yC=

2(-k1k2-k22)

k22-k1k2

=

2(k1+k2)

k1-k2

．
所以點B，C均在直線y=

k1+k2

2

x上．
而兩點確定一條直線，所以直線BC的方程為y=

k1+k2

2

x，即y=

k12-4

2k1

x．
所以BC恒過定點D（0，0）；
（3）設H（x，y），由（2）知，∠AHO=90°，
所以

AH

•

OH

=0．
又因為

AH

=(x，y-2)，

OH

=(x，y)，
所以有x²+y（y-2）=0，即x²+（y-1）²=1．
所以H的軌跡方程為x²+（y-1）²=1（去掉點（0，2））．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了利用平面向量求軌跡方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，考查了學生靈活處理問題和解決問題的能力，考查了學生的運算能力，屬難題．