Question

用數學歸納法證明：

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

2n(2n+2)

=

n

4(n+1)

（其中n∈N^*）．

Answer 1

分析：按數學歸納法的證明步驟．特別注意遞推的步驟要符合假設的要求．

解答：證明：（1）當n=1時，等式左邊=

1

2×4

=

1

8

，等式右邊=

1

4(1+1)

=

1

8

，∴等式成立．
（2）假設n=k（k≥1．k∈N^*）時等式成立，
即

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

++

1

2k(2k+2)

=

k

4(k+1)

成立，
那么當n=k+1時，

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

++

1

2k(2k+2)

+

1

2(k+1)[2(k+1)+2]

=

k

4(k+1)

+

1

4(k+1)(k+2)

=

k(k+2)+1

4(k+1)(k+2)

=

(k+1)2

4(k+1)(k+2)

=

k+1

4[(k+1)+1]

即n=k+1時等式成立．由（1）、（2）可知，對任意n∈N^*等式均成立．

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法包括兩個步驟，缺一不可．