Question

設正項等比數列{a_n}的首項a₁=

1

2

，前n項和為S_n，且210S30-(210+1)S20+S10=0，則a_n=

 

．

Answer 1

分析：由已知得到數列為正項等比數列，首項為

1

2

，求通項公式a_n，只要求出公比q就可以了；又已知2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=0，經過化簡可以得出，

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=q¹⁰=2^-10，即得出公比，再利用通項公式即可．

解答：解：∵2¹⁰S₃₀-（2¹⁰+1）S₂₀+S₁₀=2¹⁰（S₃₀-S₂₀）-（S₂₀-S₁₀）=2¹⁰（a₂₁+a₂₂+…+a₃₀）-（a₁₁+a₁₂+…+a₂₀）=0，
∴

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=2^-10，
∵數列{a_n}為正項等比數列，公比為q，
∴

a21+a22+…+a30

a11+a12+…+a20

=q¹⁰=2^-10，
∴q=

1

2

，
∴an=a₁q^n-1=

1

2n

．
故答案為

1

2n

．

點評：本題主要考查利用等比數列的定義求解通項公式，屬于基本題型，本題出現了S₁₀、S₂₀、S₃₀，對于等比數列來說，還有一個重要的等式需要我們牢記：S₁₀²+S₂₀²=S₁₀（S₂₀+S₃₀），