Question

已知數列{a_n}單調遞增，且各項非負，對于正整數K，若任意的i，j(1≤i≤j≤K)，a_j－a_i仍是{a_n}中的項，則稱數列{a_n}為“K項可減數列”．

(1)已知數列{a_n}是首項為2，公比為2的等比數列，且數列{b_n－2}是“K項可減數列”，試確定K的最大值．

(2)求證：若數列{a_n}是“K項可減數列”，則其前n項的和．

(3)已知{a_n}是各項非負的遞增數列，寫出⑵的逆命題，判斷該逆命題的真假，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)設，則，易得 　　，即數列一定是“2項可減數列”，但因為 　　，所以的最大值為2． 　　(2)因為數列是“項可減數列”，所以必定是數列中的項，而是遞增數列，故，所以必有 　　，，則 　　， 　　所以，即． 　　又由定義知，數列也是“項可減數列”， 　　所以 　　(3)(2)的逆命題為：已知數列為各項非負的遞增數列，若其前項的和滿足，則該數列一定是“項可減數列”，該逆命題為真命題． 　　理由如下：因為≤≤，所以當≥時，，兩式相減，得，即≥　() 　　則當≥3時，有() 　　由()－()，得≥，又，所以，故數列是首項為0的遞增等差數列． 　　設公差為，則，對于任意的≤≤≤，，因為≤≤，所以仍是中的項，故數列是“項可減數列”．