Question

已知點M（x₁，f（x₁））是函數f（x）=

1

x

，x∈（0，+∞）圖象C上的一點，記曲線C在點M處的切線為l．
（1）求切線l的方程；
（2）設l與x軸，y軸的交點分別為A、B，求△AOB周長的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據f（x）的解析式求出f（x）的導函數，把M的橫坐標代入導函數中表示出切線方程的斜率，把M的橫坐標代入f（x）得到切點的縱坐標，根據切點坐標和表示出的斜率寫出切線的方程即可；
（2）根據（1）表示出的切線方程，令x=0求出切線與y軸的交點B的坐標，令y=0求出切線與x軸的交點A的坐標，然后利用勾股定理表示出線段AB的長度，設三角形AOB的周長m等于|OA|+|OB|+|AB|，然后設t=x₁+

1

x1

，根據x₁的范圍求出t的范圍，根據基本不等式求出t的最小值，進而求出此時x₁的值，代入m即可得到m的最小值，即為三角形周長的最小值．

解答：解：（1）f′（x）=-

1

x2

，
∴k=f′（x₁）=-

1

x 2 1

．
∴切線方程為y-

1

x1

=-

1

x 2 1

（x-x₁），即y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

；
（2）在y=-

1

x 2 1

x+

2

x1

中，
令y=0得x=2x₁，∴A（2x₁，0）．
令x=0，得y=

2

x1

，∴B(0，

2

x1

)．
∴△AOB的周長m=2x₁+

2

x1

+

(2x1)2+( 2 x1 )2

．
∴m=2(x1+

1

x1

+

x 2 1 + 1 x 2 1

)，x₁∈（0，+∞）．
令t=x₁+

1

x1

，∵x₁∈（0，+∞），∴t≥2．
∴當t=2，即x₁=1時，m_最小=2（2+

2

）．
故△AOB周長的最小值是2（2+

2

）．

點評：此題考查學生會利用導數求曲線上過某點切線方程的斜率，會利用基本不等式求函數的最值，是一道中檔題．