Question

已知函數f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），并設F(x)=

f(x)

ex

，
（1）若F（x）圖象在x=0處的切線方程為x-y=0，求b、c的值；
（2）若函數F（x）是（-∞，+∞）上單調遞減，則
①當x≥0時，試判斷f（x）與（x+c）²的大小關系，并證明之；
②對滿足題設條件的任意b、c，不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立，求M的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）欲求b，c的值，根據所給的切線方程，只須求出切線斜率即可，故先利用導數求出在x=0處的導函數值，再結合導數的幾何意義即可求出切線的斜率進而得切線方程，最后與所給的方程比較即得b，c的值；
（2）根據函數F（x）是（-∞，+∞）上單調遞減，得到F′（x）≤0恒成立，從而得到c＞b且c≥1，①令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），從而得到結果；
②不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等價于f（c）-f（b）≤M（c²-b²）恒成立，分離參數可得M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

恒成立，轉化為求

f(c)-f(b)

c2-b2

的最大值即可．

解答：解：（1）因為F(x)=

x2+bx+c

ex

，所以F′(x)=

-x2+(2-b)x+(b-c)

ex

，
又因為F（x）圖象在x=0處的切線方程為x-y=0，
所以 

F(0)=0 F′(0)=1

，即

c=0 b-c=1

，解得 b=1，c=0．
（2）①因為F（x）是（-∞，+∞）上的單調遞減函數，所以F′（x）≤0恒成立，
即-x²+（2-b）x+（b-c）≤0對任意的x∈R恒成立，
所以△=（2-b）²+4（b-c）≤0，所以4c≥b2+4≥2

b2×4

=4|b|≥4b，即c＞b且c≥1，
令g（x）=f（x）-（x+c）²=（b-2c）x-c（c-1），由b-2c＜0，知g（x）是減函數，
故g（x）在[0，+∞）內取得最小值g（0），又g（0）=-c（c-1）≤0，
所以x≥0時，g（x）≤g（0）≤0，即f（x）≤（x+c）²．
②由①知，c≥|b|≥0，當|b|=c時，b=c或b=-c，
因為b²+4-4c≤0，即c²+4-4c≤0，解得c=2，b=2或b=-2，所以f（x）=x²±2x+2，
而f（c）-f（b）=c²+bc+c-b²-b²-c=c²+bc-2b²=（c+2b）（c-b），
所以f（c）-f（b）=-8或0，
不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²等價于f（c）-f（b）≤M（c²-b²），
變為-8≤M•0或0≤M•0恒成立，M∈R，
當|b|≠c時，c＞|b|，即c²-b²＞0，所以不等式f（c）-Mc²≤f（b）-Mb²恒成立等價于M≥

f(c)-f(b)

c2-b2

恒成立，等價于M≥(

f(c)-f(b)

c2-b2

)max，
而

f(c)-f(b)

c2-b2

=

(c+2b)(c-b)

(c+b)(c-b)

=

c+2b

c+b

=2-

1

1+ b c

，
因為c＞|b|，|

b

c

|＜1，所以-1＜

b

c

＜1，所以0＜1+

b

c

＜2，所以

1

1+ b c

＞

1

2

，
所以

f(c)-f(b)

c2-b2

＜2-

1

2

=

3

2

，所以M≥

3

2

．

點評：本小題主要考查利用導數研究函數的極單調性、導數的幾何意義、利用導數研究曲線上某點切線方程，考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力和運算求解能力，體現了轉化的數學思想方法．屬難題．