Question

一個建設集團公司共有3n（n≥2，n∈N^*）個施工隊，編號分別為1，2，3，…3n．現有一項建設工程，因為工人數量和工作效率的差異，經測算：如果第i（1≤i≤3n）個施工隊每天完成的工作量都相等，則它需要i天才能獨立完成此項工程．
（1）求證第n個施工隊用m（1≤m＜n，m∈N^*）天完成的工作量不可能大于第n+k（1≤k≤2n）個施工隊用m+k天完成的工作量；
（2）如果該集團公司決定由編號為n+1，n+2，…，3n共2n個施工隊共同完成，求證它們最多不超過兩天即可完成此項工作．

Answer 1

證明：（1）依題意，第i（1≤i≤3n）個施工隊的工作效率為

1

i

…1分
故本題即是證明當1≤m＜n，m∈N^*且1≤k≤2n時，

m

n

＜

m+k

n+k

…3分
∵

m

n

-

m+k

n+k

=

mn+mk-mn-nk

n(n+k)

=

(m-n)k

n(n+k)

當1≤m＜n，m∈N^*且1≤k≤2n時，

(m-n)k

n(n+k)

＜0顯然成立，故命題得證．…6分
（2）要證明此命題，即是證明2（

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

）＞1（n≥2，n∈N^*），
也就是證明：

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

2

（n≥2，n∈N^*）．…9分
[法一]：利用數學歸納法：
（1）當n=2時，左邊=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

1

2

，不等式成立．
（2）假設當n=k（k≥2，k∈N^*）時不等式成立．
即

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

＞

1

2

．
則當n=k+1時，

1

?k+1?+1

+

1

?k+1?+2

+…+

1

3k

+

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

=

1

k+1

+

1

k+2

+…+

1

3k

+（

1

3k+1

+

1

3k+2

+

1

3k+3

-

1

k+1

）＞

1

2

+（3×

1

3k+3

-

1

k+1

）=

1

2

．
所以當n=k+1時不等式也成立，
由（1），（2）知原不等式對一切n≥2，n∈N^*均成立．…14分
[法二]利用放縮法：
∵n≥2，
∴

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

3n

+

1

3n

+…+

1

3n

=

2

3

＞

1

2

．
即

1

n+1

+

1

n+2

+…+

1

3n

＞

1

2

（n≥2，n∈N^*）．…14分．