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（2011•自貢三模）己知．函數(shù)f（x）=
x-4
x+1
（x≠-1）的反函數(shù)是f-1（x）．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，對(duì)任意的正整數(shù)都有an=
6 f-1(Sn) -19
f-1(Sn)+1
成立，且bn=f-1（an）•
（I）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（II）記cn=b2n-b2n-1（n∈N），設(shè)數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：對(duì)任意正整數(shù)n都有Tn＜
3
2
；
（III）設(shè)數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Rn，已知正實(shí)數(shù)λ滿(mǎn)足：對(duì)任意正整數(shù)n，Rn≤λn恒成立，求λ的最小值．
分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件能導(dǎo)出an+1-an=5an+1，即 an+1=-
1
4
an，所以 an=(-
1
4
)n，∴bn=
4+(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)n
．
（Ⅱ）由 bn=4+
5
(-4)n-1
，知 cn=b2n-b2n-1=
5
42n-1
+
5
42n-1+1
=
25×16n
(16n-1)(16n+4)
=
25×16n
(16n)2+3×16n-4
＜
25×16n
(16n)2
=
25
16n
，當(dāng)n=1時(shí)，T1＜
3
2
；當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜
4
3
+25×(
1
162
+
1
163
+…+
1
16n
)
＜
4
3
+25×
1
162
1-
1
16
=
69
48
＜
3
2
．
（Ⅲ）由 bn=4+
5
(-4)n-1
知Rn=b1+b2+…+b2k+1=4n+5×(-
1
41+1
+
1
42-1
-
1
43+1
+…-
1
42k+1+1
)=4n+5×[-
1
41+1
+(
1
42-1
-
1
43+1
)+…+(
1
42k-1
-
1
42k+1+1
)]＞4n-1．由此入手能推導(dǎo)出正實(shí)數(shù)λ的最小值為4．
解答：解：（I）由題意得f-1（x）=
x+4
1-x
（x≠1）
由an=
6 f-1(Sn) -19
f-1(Sn)+1
得an=5Sn+1…1分
當(dāng)n=1時(shí)，a1=5a1+1，則a1=-
1
4

又an+1=5Sn+1+1，
∴an+1-an=5an+1，
即an+1=-
1
4
an，
∴數(shù)列{an}是以-
1
4
為首項(xiàng)，以-
1
4
為公比的等比數(shù)列，…2分
∴an=(-
1
4
)n，
∴bn=
4+(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)n
…3分
（II）由（I）中bn=
4+(-
1
4
)n
1-(-
1
4
)n

∴cn=b2n-b2n-1=
4+(-
1
4
)2n
1-(-
1
4
)2n
-
4+(-
1
4
)2n-1
1-(-
1
4
)2n-1
=
25×16n
(16n)2+3×16n-4
＜
25×16n
(16n)2
=
25
16n
…4分
又∵b1=3，b2=
13
3
，
∴c1=
4
3
，即當(dāng)n=1時(shí)，Tn＜
3
2
成立…5分
當(dāng)n≥2時(shí)，Tn＜
4
3
+
n
k=2
25
16k
=
4
3
+25×
1
162
[1-(
1
16
)n-1]
1-
1
16
＜=
4
3
+25×
1
162
1-
1
16
=
69
48
＜
3
2
成立
（Ⅲ）由（Ⅰ）知 bn=4+
5
(-4)n-1

一方面，已知Rn≤λn恒成立，取n為大于1的奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2k+1（k∈N+）
則Rn=b1+b2+…+b2k+1=4n+5×(-
1
41+1
+
1
42-1
-
1
43+1
+…-
1
42k+1+1
)
=4n+5×[-
1
41+1
+(
1
42-1
-
1
43+1
)+…+(
1
42k-1
-
1
42k+1+1
)]＞4n-1
∴λn≥Rn＞4n-1，即（λ-4）n＞-1對(duì)一切大于1的奇數(shù)n恒成立
∴λ≥4否則，（λ-4）n＞-1只對(duì)滿(mǎn)足 n＜
1
4-λ
的正奇數(shù)n成立，矛盾．
另一方面，當(dāng)λ=4時(shí)，對(duì)一切的正整數(shù)n都有Rn≤4n
事實(shí)上，對(duì)任意的正整數(shù)k，有
b2n-1+b2n=8+
5
(-4)2k+1-1
+
5
(-4)2k-1

=8+
5
(16)k-1
-
20
(16)k+4

=8-
15×16k-40
(16k-1)(16k+4)
＜8
∴當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m（m∈N+）
則Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-1+b2n）＜8m=4n
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n=2m-1（m∈N+）
則Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2n-3+b2n-2）+b2n-1
＜8（m-1）+4=8m-4=4n
∴對(duì)一切的正整數(shù)n，都有Rn≤4n
綜上所述，正實(shí)數(shù)λ的最小值為4
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)、考查化歸思想、分類(lèi)整合思想，以及推理論證、分析與解決問(wèn)題的能力．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）把函數(shù)g（x）=sinx（x∈R）按向量
a
=（
π
2
，0）平移后得到函數(shù)f（x），下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）設(shè)A（x，1）、B （2，y）、C （4，5）為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿(mǎn)足條件：|
AB
+
OC
|=|
AB
-
OC
|的動(dòng)點(diǎn)（x，y）的軌跡方程為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）函數(shù)f（x）=-x3-8x2-7x+5的圖象在X=-1處的切線(xiàn)斜率為k，則（2x-
12x
）k的展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是
-20
-20
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）給出下列5個(gè)命題：
①0＜a≤
1
5
是函數(shù)f（x）=ax2+2（a-1）x+2在區(qū)間（-∞，4]上為單調(diào)減函數(shù)的充要條件
②如圖所示，“嫦娥探月衛(wèi)星”沿地月轉(zhuǎn)移軌道飛向月球，在月球附近一點(diǎn)P進(jìn)入以月球球心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓敘道I繞月飛行，之后衛(wèi)星在P點(diǎn)第二次變軌進(jìn)入仍以F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道II繞月飛行，最終衛(wèi)星在P點(diǎn)第三次變軌進(jìn)入以F為圓心的圓形軌道III繞月飛行，若用2cl和2c2分別表示橢圓軌道I和II的焦距，用2a1和2a2分別表示橢圓軌道I和II的長(zhǎng)軸的長(zhǎng)，則有a1-c1=a2-c2；
③y=f（x）與它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖象若相交，則交點(diǎn)必在直線(xiàn)y=x上；
④若a∈（π，
5π
4
），則
1
1-tanα
＞1+tanα＞
2tanα
；
⑤函數(shù)f（x）=
e-x+3
e-x+2
（e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的最小值為2．
其中所有真命題的代號(hào)有
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2011•自貢三模）已知函數(shù)，y=f（x）=-x3+ax2+b（a，b∈R）
（Ⅰ）要使f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；
（Ⅱ）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）的極小值和極大值分別為1、
31
27
，試求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（Ⅲ）若x∈[0，1]時(shí)，y=f（x）圖象上任意一點(diǎn)處的切線(xiàn)傾斜角為θ，當(dāng)0≤θ≤
π
4
．時(shí)，求a的取值范圍．

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同步練習(xí)冊(cè)答案