Question

(1)①證明：兩角和的余弦公式C_(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－      sin αsin β；

②由C_(α＋β)推導兩角和的正弦公式S_(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsinβ.

(2)已知△ABC的面積S＝，·＝3，且cos B＝，求cos C.

Answer 1

解：(1)證明：①如圖，在直角坐標系xOy內作單位圓O，并作出角α，β與－β，使角α的始邊為Ox，交⊙O于點P₁，終邊交⊙O于點P₂；角β的始邊為OP₂，終邊交⊙O于點P₃；角－β的始邊為Ox，終邊交⊙O于點P₄，

則P₁(1,0)，P₂(cos α，sin α)，

P₃(cos(α＋β)，sin(α＋β))，

P₄(cos(－β)，sin(－β))．

由P₁P₃＝P₂P₄及兩點間的距離公式，得

[cos(α＋β)－1]²＋sin²(α＋β)

＝[cos(－β)－cos α]²＋[sin(－β)－sin α]²，

展開整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)．

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.

②由①易得，cos(－α)＝sin α，sin(－α)＝cos α.

sin(α＋β)＝cos[－(α＋β)]＝cos[(－α)＋(－β)]

＝cos(－α)cos(－β)－sin(－α)sin(－β)

＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.

(2)由題意，設△ABC的角B、C的對邊分別為b、c，

則S＝bcsin A＝，即bcsin A＝1.

又·＝bccos A＝3＞0，∴A∈(0，)，cos A＝3sin A.

又sin²A＋cos²A＝1，∴sin A＝，cos A＝.

由題知cos B＝，得sin B＝.

∴cos(A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B＝.

∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－.