Question

函數(shù)f：R→R，對任意的實數(shù)x，y，只要x+y≠0，就有f（xy）=

f(x)+f(y)

x+y

成立，則函數(shù)f（x）（x∈R）的奇偶性為（　　）

• A、奇函數(shù)
• B、偶函數(shù)
• C、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
• D、既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

Answer 1

分析：根據(jù)x，y的任意性，對函數(shù)進(jìn)行賦值，x=1，y=0得到f（1）=0，再令y=1得f（x），根據(jù)奇偶性的定義判斷即可．

解答：解：∵對任意的實數(shù)x，y，只要x+y≠0，就有f（xy）=

f(x)+f(y)

x+y

成立
∴令x=1，y=0等式成立，即f（0）=f（1）+f（0）
∴f（1）=0
另可令y=1，x∈R
∴f（x）=

f(x)

x+1

即(1-

1

x+1

)f(x)=0對?x∈R恒成立
∴f（x）≡0
即f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
故選C

點評：本題考查抽象函數(shù)的奇偶性，解題的關(guān)鍵是合理進(jìn)行賦值，利用函數(shù)奇偶性的定義解決，屬于基礎(chǔ)題．