Question

設函數f（x）=

m

•

n

，其中

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），x∈R．
（1）求f（x）的最小正周期和單調遞減區間；
（2）在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知f（A）=2，b=1△ABC的面積為

3

2

，求c的值．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出關系式，再利用二倍角的余弦函數公式及兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的單調遞增區間即可確定出f（x）的單調遞增區間；
（2）由f（A）=2，求出A的度數，再利用三角形面積公式列出關系式，即可求出c的值．

解答：解：（1）∵

m

=（2cosx，1），

n

=（cosx，

3

sin2x），
∴f（x）=

m

•

n

=2cos²x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x+1=2sin（2x+

π

6

）+1，
∵ω=2，∴T=π；
令-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
解得：kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
則f（x）的單調遞增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）+1=2，即sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

π

6

或2A+

π

6

=

5π

6

，即A=0（舍去）或A=

π

3

，
∵S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

c•

3

2

=

3

2

，
∴c=2．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，三角形面積公式，平面向量的數量積運算，正弦函數的定義域與值域，三角函數的周期性及其求法，熟練掌握公式是解本題的關鍵．