Question

如圖，設點P是橢圓E：

x2

4

+y2=1上的任意一點（異于左，右頂點A，B）．
（1）若橢圓E的右焦點為F，上頂點為C，求以F為圓心且與直線AC相切的圓的半徑；
（2）設直線PA，PB分別交直線l：x=

10

3

與點M，N，求證：PN⊥BM．

Answer 1

分析：（1）先求出直線AC的方程，由直線與圓心相切的性質可知，圓心到直線的距離等于半徑可求r
（2）要證明PN⊥BM，只要證明

PN

•

BM

=0，先設P的坐標，及直線AP，BP與直線x=

10

3

的交點M，N，由A，P，M三點共線可知AM，BM的斜率相等，AN，BN的斜率相等，結合點P在橢圓上，可尋求P，M，N的坐標的關系，代入即可證明

解答：（1）解：由題意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，1），F（

3

，0），
直線AC的方程為x-2y+2=0（2分）
設圓F的半徑為r，則由以F為圓心的圓與直線AC相切可得圓心F到直線AC的距離為圓的半徑r
∴r=

| 3 +2|

12+22

=

15 +2 5

5

（5分）
（2）設P（x₀，y₀），直線AP，BP分別交直線x=

10

3

于M（

10

3

，y1），N（

10

3

，y2）兩點
∵A，P，M三點共線
∴K_AP=K_AM即

y0

x0+2

=

y1

10 3 +2

，整理可得，y1=

16y0

3(x0+2)

（7分）
同理可得，

y2

10 3 -2

=

y0

x0-2

，整理可得，y2=

4y0

3(x0-2)

（9分）
∴y1y2=

64y02

9(x02-4)

∵P（x₀，y₀）在橢圓E：

x2

4

+y2=1上
∴

x02

4

+y02=1即可得y02=

4-x02

4

（11分）
∴y1y2=

64

9

•

y02

x02-4

=

64(4-x02)

9(x02-4)

×

1

4

=-

16

9

（13分）
∴

PN

•

BM

=(

10

3

-x0，y2-y0)•(

10

3

-2，y1)=

4

3

(

10

3

-x0)+ (y2 -y0)y1
=

40

9

-

4x0

3

+y1y2-y1y0=

40

9

-

4x0

3

-

16

9

-

16y02

3(x0 +2)

=

24

9

-

4x0

3

-

16• 4-x02 4

3(x0+2)

=

24

9

-

4x0

3

-

4(2+x0)(2-x0)

3(x0+2)

=0
∴PN⊥BM

點評：本題主要考查了點到直線的距離公司的應用，三點共線性質的應用，直線與圓的相交關系的應用，及向量的數量積的性質在證明幾何關系中的應用，屬于綜合性試題