Question

（2012•安徽模擬）已知橢圓C：

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)的兩個焦點分別為F₁（-1，0），F₂（1，0），長半軸長為

2

．
（1）（i）求橢圓C的方程；
（ii）類比結論“過圓

x

2

+

y

2

=r2上任一點（x₀，y₀）的切線方程是x0x+yy0=

r

2

”，歸納得出：過橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一點（x₀，y₀）的切線方程是

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1

；
（2）設M，N是直線x=2上的兩個點，若

F1M

•

F2M

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接利用橢圓的焦點坐標與長半軸，求出b，然后求解橢圓的方程．
（2）（i）直接類比圓的切線方程，寫出橢圓的切線方程即可．
（ii）設m（2，y₁），N（2，y₂），通過向量的數量積，推出y₁，y₂的關系，求出|MN|的表達式，利用基本不等式求出最小值即可．

解答：解：（1）（i）由焦點坐標可知c=1，長半軸長為

2

，可知，a=

2

，所以b=1，
所以橢圓C的方程為

x 2

2

+y2=1．
（ii）過圓

x

2

+

y

2

=r2上任一點（x₀，y₀）的切線方程是x0x+yy0=

r

2

，
過橢圓

x 2

a 2

+

y 2

b 2

=1(a＞b＞0)上任一點（x₀，y₀）的切線方程是：

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．
（2）∵M，N是直線x=2上的兩個點，
∴設m（2，y₁），N（2，y₂），（不妨y₁＞y₂）．
∵

F1M

•

F2M

=0，
∴（3，y₁）•（1，y₂）=0，
即3+y₁y₂=0，由于y₁＞y₂．所以
y₁＞0，y₂＜0，
∴|MN|=y₁-y₂=y₁+

3

y1

≥2

3

，
當且僅當y₁=

3

，y₂=-

3

，時取等號．
故|MN|的最小值為：2

3

．
故答案為：（ii）

x0x

a 2

+

y0y

b 2

=1．

點評：本題考查橢圓的標準方程的求法，向量的數量積，基本不等式的應用，考查計算能力，轉化思想的應用．