Question

如圖，已知雙曲線S的兩條漸近線過坐標原點且與以點A（，0）為圓心，1為半徑的圓相切，雙曲線S的一個頂點A′與A關于直線y=x對稱，設直線l過點A，且斜率為k.

（1）求雙曲線S的方程；

（2）當k=1時，在雙曲線S的上支上求點B，使其與直線l的距離為；

（3）當0≤k＜1時，若雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，求斜率k的值及相應的點B的坐標.

Answer 1

思路解析：本題是直線方程、點到直線的距離、圓、雙曲線等知識的綜合運用.（1）、（2）按條件求解不難.（3）可用數形結合，作一條與l平行且與l相距為的直線l′，使l′與雙曲線S的上支相切，切點即為所求.

解：（1）由已知得雙曲線的漸近線為y=±x，因而S為等軸雙曲線，頂點A′與A（，0）關于直線y=x對稱.∴A′（0，），∴所求雙曲線S的方程為y²-x²=2.

（2）若B（x,）是雙曲線S的上支上到l：y=x-的距離為的點，則=,解得x=,y=2,∴點B的坐標為（，2）.

（3）當0≤k＜1時，雙曲線S的上支在直線l的上方，∴點B在直線l的上方，設直線l′與l：y=k(x-)平行且距離為，直線l′在l的上方，雙曲線S的上支上有且只有一個點B到直線l的距離為，等價于直線l′與雙曲線S的上支有且只有一個公共點.設l′的方程為y=kx+m，由于l上的點A到l′的距離為，可知=,解得m=(± -k).∵直線l′在直線l的上方，∴m=(-k).由方程y²-x²=2及y=kx+m消去y，得(k²-1)x²+2mkx+m²-2=0.

∵k²≠1,∴Δ=4(m²-2+2k²)=8k(3k-2).

令Δ=0，∵0≤k＜1,解得k=0或k=.

當k=0時，m=,解得點B的坐標為(0, )；

當k=時，m=,解得點B的坐標為(2,).