Question

已知點F(0，

p

2

)（p＞0，p是常數），且動點P到x軸的距離比到點F的距離小

p

2

．
（1）求動點P的軌跡E的方程；
（2）（i）已知點M（2，2），若曲線E上存在不同兩點A、B滿足

AM

+

BM

=

0

，求實數p的取值范圍；
（ii）當p=2時，拋物線L上是否存在異于A、B的點C，使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線，若存在，求出點C的坐標，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出P的坐標，利用點F(0，

p

2

)（p＞0，p是常數），且動點P到x軸的距離比到點F的距離小

p

2

，建立方程，化簡可得結論；
（2）（i）確定M為AB的中點，設出直線AB的方程代入拋物線方程，利用韋達定理，可得結論；
（ii）假設存在，求出圓心坐標之間的關系，利用拋物線L在點C處切線的切線與NC垂直，即可確定C的坐標．

解答：解：（1）設P（x，y），則
∵點F(0，

p

2

)（p＞0，p是常數），且動點P到x軸的距離比到點F的距離小

p

2

，
∴|y|=

x2+(y- p 2 )2

+

p

2

，化簡可得x²=2py；
（2）（i）設A，B兩點的坐標為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂．
∵

AM

+

BM

=

0

，可得M為AB的中點，即x₁+x₂=4．
顯然直線AB與x軸不垂直，設直線AB的方程為y-2=k（x-2），即y=kx+2-2k，
將y=kx+2-2k代入x²=2py中，得x²-2pkx+4（k-1）p=0．…（2分）
∴

△=4p2k2-16(k-1)p＞0 x1+x2=2pk=4.

，∴p＞1，故p的取值范圍為（1，+∞）．
（ii）當p=2時，由（i）求得A，B的坐標分別為A（0，0），B（4，4）．
假設拋物線L：x²=4y上存在點C(t， 

t2

4

)（t≠0且t≠4），使得經過A、B、C三點的圓和拋物線L在點C處有相同的切線．
設圓的圓心坐標為N（a，b），
∵

|NA|=|NB| |NA|=|NC|.

，∴

a2+b2 = (a-4)2+(b-4)2 a2+b2 = (a-t)2+(b- t2 4 )2 .

，
即

a+b=4 4a+tb=2t+ 1 8 t3.

，解得

a=- t2+4t 8 b= t2+4t+32 8 .

∵拋物線L在點C處切線的斜率為k=y′|x=t=

t

2

，而t≠0，且該切線與NC垂直，
∴

b- t2 4

a-t

•

t

2

=-1，即2a+bt-2t-

1

4

t3=0．
將a=-

t2+4t

8

，b=

t2+4t+32

8

代入上式，得t³-2t²-8t=0．
即t（t-4）（t+2）=0．∵t≠0且t≠4，∴t=-2．
故滿足題設的點C存在，其坐標為 （-2，1）．

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查拋物線的切線，考查學生的綜合能力，難度較大．