Question

北京市各級各類中小學每年都要進行“學生體質健康測試”，測試總成績滿分為分，規(guī)定測試成績在之間為體質優(yōu)秀；在之間為體質良好；在之間為體質合格；在之間為體質不合格．
現(xiàn)從某校高三年級的名學生中隨機抽取名學生體質健康測試成績，其莖葉圖如下：

（Ⅰ）試估計該校高三年級體質為優(yōu)秀的學生人數(shù)；
（Ⅱ）根據(jù)以上名學生體質健康測試成績，現(xiàn)采用分層抽樣的方法，從體質為優(yōu)秀和良好的學生中抽取名學生，再從這名學生中選出人．
（ⅰ）求在選出的名學生中至少有名體質為優(yōu)秀的概率；
（ⅱ）求選出的名學生中體質為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質為良好的人數(shù)的概率．

Answer 1

（Ⅰ）100；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

試題分析：（Ⅰ）由莖葉圖可知抽取的30名學生中體質優(yōu)秀的有10人，所以優(yōu)秀率為，用總數(shù)乘以優(yōu)秀率即可得優(yōu)秀的總人數(shù)。（Ⅱ）由莖葉圖可知抽取的30名學生中體質優(yōu)秀的有10人，體質為良好的15人。所以樣本中體質為優(yōu)秀和良好的學生的比為。分層抽樣的特點是在各層按比例抽取，所以抽取的5人中有3人體質為良好有2人體質為優(yōu)秀。（ⅰ）和（ⅱ）中的概率均屬古典概型，用例舉法分別求基本事件總數(shù)和所求事件包含的基本事件數(shù)即可。
試題解析：解：（Ⅰ）根據(jù)抽樣，估計該校高三學生中體質為優(yōu)秀的學生人數(shù)有人．   3分
（Ⅱ）依題意，體質為良好和優(yōu)秀的學生人數(shù)之比為 ．
所以，從體質為良好的學生中抽取的人數(shù)為，從體質為優(yōu)秀的學生中抽取的人數(shù)為．                6分
（ⅰ）設在抽取的名學生中體質為良好的學生為，，，體質為優(yōu)秀的學生為，．
則從名學生中任選人的基本事件有，，，，，，，，，個，其中“至少有名學生體質為優(yōu)秀”的事件有，，，，，，， ，個．
所以在選出的名學生中至少有名學生體質為優(yōu)秀的概率為．      10分
（ⅱ）“選出的名學生中體質為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質為良好的人數(shù)”的事件有，，個．
所以選出的名學生中體質為優(yōu)秀的人數(shù)不少于體質為良好的人數(shù)的概率為．13分