Question

已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，拋物線上一點A的橫坐標為x₁（x₁＞0），過點A作拋物線C的切線l₁交x軸于點D，交y軸于點Q，交直線l：y=

p

2

于點M，當|FD|=2時，∠AFD=60°．
（Ⅰ）求證：△AFQ為等腰三角形，并求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若B位于y軸左側的拋物線C上，過點B作拋物線C的切線l₂交直線l₁于點P，交直線l于點N，求△PMN面積的最小值，并求取到最小值時的x₁值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設A的坐標，可得切線AD的方程，從而可得D、Q的坐標，進而可得|FQ|=|FA|，即△AFQ為等腰三角形，且D為AQ的中點，利用|DF|=2，∠AFD=60°，即可求拋物線方程；
（II）求出B處的切線方程，與切線AD的方程聯立，可得P的坐標，求出M，N的坐標，可得△PMN面積，設AB的方程與拋物線方程聯立，利用韋達定理，化簡面積表達式，再利用導數的方法，可求面積的最小值，從而可得結論．

解答：（Ⅰ）證明：設A（x₁，y₁），則切線AD的方程為y=

x1

p

x-

x 2 1

2p

，所以D（

x1

2

，0），Q（0，-y₁）
∴|FQ|=

p

2

+y1，|FA|=

p

2

+y1，∴|FQ|=|FA|，∴△AFQ為等腰三角形，且D為AQ的中點
∴DF⊥AQ
∵|DF|=2，∠AFD=60°
∴∠QFD=60°，

p

2

=1
∴p=2
∴拋物線方程為x²=4y；
（II）解：設B（x₂，y₂）（x₂＜0），則B處的切線方程為y=

x2

2

x-

x 2 2

4

，與y=

x1

2

x-

x 2 1

4

聯立，可得P（

x1+x2

2

，

x1x2

4

）
由

y= x1 2 x- x 2 1 4 y=1

，可得M（

x1

2

+

2

x1

，1）
同理N（

x2

2

+

2

x2

，1），所以面積S=

1

2

[（

x1

2

+

2

x1

）-（

x2

2

+

2

x2

）]（1-

x1x2

4

）=

(x2-x1)(4-x1x2)2

16x1x2

…①
設AB的方程為y=kx+b，則b＞0
由

y=kx+b x2=4y

，消去y可得x²-4kx-4b=0，得x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4b代入①得：
S=

16k2+16b (4+4b)2

64b

=

(1+b)2 k2+b

b

，要使面積最小，則k=0得到S=

(1+b)2 b

b

②
令

b

=t，②得S（t）=

(1+t2)2

t

=t3+2t+

1

t

，S′（t）=

(3t2-1)(t2+1)

t2

，
所以當t∈（0，

3

3

）時，S（t）單調遞減；當t∈（

3

3

，+∞）時，S（t）單調遞增，
所以當t=

3

3

時，S取到最小值為

16 3

9

，此時b=t2=

1

3

，k=0，
所以y1=

1

3

，x1=

2 3

3

．

點評：本題考查拋物線方程，考查直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理的運用，考查三角形面積的計算，考查導數知識的運用，綜合性強．