Question

某村莊擬修建一個無蓋的圓柱形蓄水池（不計厚度）．設該蓄水池的底面半徑為米，高為米，體積為立方米．假設建造成本僅與表面積有關，側面積的建造成本為100元/平方米，底面的建造成本為160元/平方米，該蓄水池的總建造成本為元（為圓周率）.
（1）將表示成的函數，并求該函數的定義域；
（2）討論函數的單調性，并確定和為何值時該蓄水池的體積最大.

Answer 1

（1），函數的定義域為；（2）當時，函數為增函數，當，函數為減函數，所以當時該蓄水池的體積最大.

試題分析：（1）先由圓柱的側面積及底面積計算公式計算出側面積及底面積，進而得出總造價，依條件得等式，從中算出，進而可計算，再由可得；（2）通過求導，求出函數在內的極值點，由導數的正負確定函數的單調性，進而得出取得最大值時的值.
（1）∵蓄水池的側面積的建造成本為元，底面積成本為元
∴蓄水池的總建造成本為元
所以即
∴
∴
又由可得
故函數的定義域為           6分
（2）由（1）中，
可得（）
令，則
∴當時，，函數為增函數
當，函數為減函數
所以當時該蓄水池的體積最大             12分.