Question

已知曲線C: , 過(guò)點(diǎn)Q作C的切線, 切點(diǎn)為P.

(1) 求證：不論怎樣變化, 點(diǎn)P總在一條定直線上;

(2) 若, 過(guò)點(diǎn)P且與垂直的直線與軸交于點(diǎn)T, 求的最小值(O為原點(diǎn)).

Answer 1

命題意圖  本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)切線方程的求法。

知識(shí)依托 導(dǎo)數(shù)的幾何意義，直線方程的形式，基本不等式

錯(cuò)解分析 對(duì)題中的數(shù)據(jù)的實(shí)際意義不理解，以及基本不等式中的第三個(gè)條件等號(hào)成立時(shí)要滿足條件沒(méi)有討論。

技巧與方法  直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率；在第（2）小題中，把y表示成x的函數(shù)代入并利用基本不等式求最小值。

解: (1)設(shè)Ｐ點(diǎn)坐標(biāo)為, 則由則以Ｐ點(diǎn)為切點(diǎn)

的切線斜率為若則不符合題意.

∵切線過(guò)點(diǎn), ∴斜率為．

∴, ∴,  ∴切點(diǎn)Ｐ總在直線上.

(2) 解法一: ∵l的斜率為，∴ＰＴ的斜率為，

∴ＰＴ的方程為.

令,得ＰＴ與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.

在(1)中, , 又∴. ∴

∴

(當(dāng)且僅當(dāng), 即時(shí)等號(hào)成立).　∴的最小值為.

解法二：直線l的斜率為, 則垂線斜率為，

垂線方程為.

令, 解得與x軸的交點(diǎn)T的橫坐標(biāo)為

當(dāng)且僅當(dāng)3，即時(shí), 等號(hào)成立. ∴的最小值為.