Question

某摩托車生產企業，上年度生產摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1.2萬元/輛，年銷售量為1 000輛.本年度為適應市場需求，計劃提高產品檔次，適度增加投入成本.若每輛車投入成本增加的比例為x (0＜x＜1)，則出廠價相應提高的比例為0.75x, 同時預計年銷售量增加的比例為0.6x.已知年利潤=(出廠價-投入成本)×年銷售量.
（1）寫出本年度預計的年利潤y與投入成本增加的比例x的關系式；
（2）為使本年度利潤比上年有所增加，問投入成本增加的比例x應在什么范圍內？

Answer 1

（1）函數關系式為y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).
（2）投入成本增加的比例x的范圍是(0,).

（1）依題意，本年度每輛摩托車的成本為1+x(萬元)，而出廠價為1.2×(1+0.75x) (萬元)，
銷售量為1 000×(1+0.6x)(輛).
故利潤y=［1.2×(1+0.75x)-(1+x)］×1 000×(1+0.6x),                                 5分
整理得y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).           
（2）要保證本年度利潤比上一年有所增加，則y-(1.2-1)×1 000＞0,                    10分
即-60x²+20x+200-200＞0,即3x²-x＜0.                       12分
解得0＜x＜，適合0＜x＜1.
故為保證本年度利潤比上年有所增加，投入成本增加的比例x的取值范圍是0＜x＜.        13分答 （1）函數關系式為y=-60x²+20x+200 (0＜x＜1).
（2）投入成本增加的比例x的范圍是(0,).                                 14分