Question

（2013•日照二模）已知定義在R上的可導函數f（x）的導函數為f′（x），滿足f′（x）＜f（x），且f（x+2）為偶函數，f（4）=1，則不等式f（x）＜e^x的解集為（　　）

A．（-2，+∞）

B．（0，+∞）

C．（1，+∞）

D．（4，+∞）

Answer 1

分析：構造函數g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），研究g（x）的單調性，結合原函數的性質和函數值，即可求解

解答：解：∵y=f（x+2）為偶函數，∴y=f（x+2）的圖象關于x=0對稱
∴y=f（x）的圖象關于x=2對稱
∴f（4）=f（0）
又∵f（4）=1，∴f（0）=1
設g（x）=

f(x)

ex

（x∈R），則g′（x）=

f′(x)ex-f(x)ex

(ex)2

=

f′(x)-f(x)

ex

又∵f′（x）＜f（x），∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，∴y=g（x）在定義域上單調遞減
∵f（x）＜e^x
∴g（x）＜1
又∵g（0）=

f(0)

e0

=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故選B．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，結合已知條件構造函數，然后用導數判斷函數的單調性是解題的關鍵．