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設函數f(x)=+lg,

(1)求函數f(x)的定義域;

(2)判斷函數f(x)的單調性,并給出證明;

(3)已知函數f(x)的反函數f -1(x),問函數y=f -1(x)的圖象與x軸有交點嗎?若有,求出交點坐標;若無交點,說明理由.

解析:(1)由3x+5≠0且＞0,解得x≠-且-＜x＜.取交集得-＜x＜.?

(2)令μ(x)=3x+5,隨著x增大,函數值減小,所以在定義域內是減函數;?

=-1+隨著x增大,函數值減小,所以在定義域內是減函數.

又y=lgu在定義域內是增函數,根據復合單調性可知,y=lg是減函數,所以f(x)=+lg是減函數.

(3)因為直接求f(x)的反函數非常復雜且不易求出,于是利用函數與其反函數之間定義域與值域的關系求解.?

設函數f(x)的反函數f -1(x)與x軸的交點為(x 0,0).根據函數與反函數之間定義域與值域的關系可知,f(x)與y軸的交點是(0,x 0),將(0,x 0)代入f(x),解得x 0=.所以函數y=f -1(x)的圖象與x軸有交點,交點為(,0).


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=a(x+
1x
)+2lnx，g(x)=x2．
（I）若a＞0且a≠2，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于一點，求切線l的方程．
（II）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•朝陽區二模）設函數f(x)=alnx+
2
a
2
 
x
(a≠0)．
（1）已知曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線l的斜率為2-3a，求實數a的值；
（2）討論函數f（x）的單調性；
（3）在（1）的條件下，求證：對于定義域內的任意一個x，都有f（x）≥3-x．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2011•順義區二模）設函數f(x)=
ax
x2+b
(a＞0)．
（1）若函數f（x）在x=-1處取得極值-2，求a，b的值；
（2）若函數f（x）在區間（-1，1）內單調遞增，求b的取值范圍；
（3）在（1）的條件下，若P（x0，y0）為函數f(x)=
ax
x2+b
圖象上任意一點，直線l與f（x）的圖象切于點P，求直線l的斜率的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•太原模擬）設函數f(x)=a(x+
1
x
)+2lnx，g(x)=x2．
（1）若a=
1
2
時，直線l與函數f（x）和函數g（x）的圖象相切于同一點，求切線l的方程；
（2）若f（x）在[2，4]內為單調函數，求實數a的取值范圍．
說明：請考生在第22、23、24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做第一題記分．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f(x)=
3
2
-
3
sin2ωx-sinωxcosωx(ω＞0)，且y=f（x）的圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為
π
4

（l）求ω的值；
（2）將函數y=f（x）圖象向左平移
π
3
個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求y=g（x）在區間[0，
π
2
]上的最大值和最小值．

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