Question

若正數(shù)項數(shù)列的前項和為，首項，點，在曲線上.
（1）求，；
（2）求數(shù)列的通項公式；
（3）設(shè),表示數(shù)列的前項和，若恒成立，求及實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

(1);(2);(3).

試題分析：(1)根據(jù)已知點，在曲線上，代入曲線，得到與的關(guān)系，再根據(jù),分別取和代入關(guān)系式，得到關(guān)于與的方程組，解方程，得到結(jié)果；（2）由（1）得的，因為是正項數(shù)列，所以兩邊開方，得與的地推關(guān)系式，從而判定數(shù)列形式，得出的通項公式,再根據(jù),得出的通項公式；（3）代入的通項公式得到，然后裂項，經(jīng)過裂項相消，得到的前項和，，通過分離常數(shù)可以判定的單調(diào)性，求出最值，若恒成立，那么,得到的范圍.此題計算相對較大，屬于中檔題.
試題解析：（1）解：因為點，在曲線上，所以.
分別取和，得到，
由解得，.             4分
（2）解：由得.
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，     6分
由，當(dāng)時，，
所以.                8分
（3）解：因為，
所以，     11分
顯然是關(guān)于的增函數(shù)， 所以有最小值，
因為恒成立，所以，
因此，實數(shù)的取值范圍是，.         13分求;3.裂項相消；4.函數(shù)最值.