Question

（本題滿分12）

已知x=1是函數f(x)=m -3(m+1)+nx+1的一個極值點，其中m，nR，m＜0.

（Ⅰ）求m與n的關系表達式；         （Ⅱ）求f(x)的單調區間；

（Ⅲ）當x時，函數y=f（x）的圖像上任意一點的切線斜率恒大于3m，求m的取值范圍。

Answer 1

_解：

_（I）f′(x)= 3m-6(m+1)x+n      _{因為x=1是f(x)的一個極值點，所以f′(1)=0,即  3m-6(m+1)+n=0    所以  n=3m+6.                   ………………………………3分}

_{(Ⅱ) 由（I）知，} f′(x)= 3m-6(m+1)x+3m+6=3m（x-1）[x-（1+）].

_{當m<0時,有1>1+.}

_{當x變化時，f（x）與f′（x）的變化如下表：}

x	（-∞，1+）	1+	（1+，1）	1	（1，∞）
f′(x)	-	0	+	0	-
f(x)	單調遞減	極小值	單調遞增	極大值	單調遞減

_{由表知，當m<0時，f（x）在（-∞，1+）內單調遞減，在（1+，1）內單調遞增，在（1，∞）內單調遞減。                  ………………………………7分}

_{（Ⅲ）解法一 由已知條件，得f′（x）﹥3m，即}  m-2(m+1)x+2 > 0.

 因為 m < 0,所以 -（m+1）+ < 0,

 即 -2（1+）x+ < 0 , x[-1,1]   ①

設g（x）= -2（1+）x+ ，其函數圖像的開口向上。由題意①式恒成立，

所以{ { { -

又m < 0,所以 -< 0,

故m的取值范圍是 -< 0.               _{………………………………12分}

解法二  _{由已知條件，得f′（x）﹥3m，即 3m（x－1）[x-(1+)] > 3m.}

 _{因為m< 0,所以（x－1）[x-(1+)]< 1   ②}

_{(ⅰ)x=1時，②式化為0 < 1,恒成立，所以m< 0.}

_{（ⅱ）x≠1時，因為} x[-1,1]，所以 _{-2≤x-1＜0.}

_{②式化為   <(x-1)-，    令t=x-1,則t[-2，0〕.}

_{記  g（t）=t-，   則 g（t）在區間[-2，0〕上是單調增函數，}

_{所以  =g（-2）=-2-=-.}

_{由②式恒成立，必有}   < _-  -< m.

又m < 0,綜合（ⅰ），（ⅱ）知 -< 0.     _{………………………………12分}