Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為正方形，P點在平面ABCD內的射影為A，且PA＝AB＝2，E為PD中點． (1) 證明：PB//平面AEC； (2) 證明：平面PCD⊥平面PAD； (3) 求二面角B－PC－D的大小．

Answer 1

答案：
解析：

(1)	證明：連結BD交AC于點O，連結EO． O為BD中點，E為PD中點， ∴EO//PB．……………………1分 EO平面AEC，PB平面AEC，……………………2分 ∴PB//平面AEC．……………………3分
(2)	證明：P點在平面ABCD內的射影為A， ∴PA⊥平面ABCD． 平面ABCD， ∴．……………………4分 又在正方形ABCD中且，……………………5分 ∴CD平面PAD．……………………6分 又平面PCD， ∴平面平面．……………………7分
(3)	解法一：過點B作BHPC于H，連結DH．……………………8分 易證，DHPC，BH＝DH, ∴為二面角B—PC—D的平面角．……………………10分 PA⊥平面ABCD, ∴AB為斜線PB在平面ABCD內的射影， 又BC⊥AB, ∴BC⊥PB． 又BHPC, ∴, ,……………………11分 在中， ＝，……………………12分 ∴ ，……………………13分 ∴二面角B—PC—D的大小為．……………………14分 解法二：如圖，以A為坐標原點，所在直線分別 為軸，軸，軸建立空間直角坐標系．……………………8分 由PA＝AB＝2可知A、B、C、D、P的坐標分別為 A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2)． ,．…………9分 設平面BCP的法向量為＝, 則即 ∴ 令,則．…………………………………11分 設平面DCP的法向量為＝, 則即 ∴ 令,則．…………………………………13分 , ∴二面角B—PC—D的大小為．…………………………………14分