Question

定義點P（x₀，y₀）到直線l：Ax+By+C=0（A²+B²≠0）的有向距離為d=

Ax0+By0+C

A2+B2

．已知點P₁，P₂到直線l的有向距離分別是d₁，d₂，給出以下命題：
①若d₁-d₂=0，則直線P₁P₂與直線l平行；
②若d₁+d₂=0，則直線P₁P₂與直線l平行；
③若d₁+d₂=0，則直線P₁P₂與直線l垂直；
④若d₁•d₂＜0，則直線P₁P₂與直線l相交；
其中正確命題的序號是

④

．

Answer 1

分析：根據有向距離的定義，分別對直線P₁P₂與直線l的位置關系進行判斷．

解答：解：設點P₁，P₂的坐標分別為（x₁，y₁）（x₂，y₂），則d1=

Ax1+By1+C

A2+B2

，d2=

Ax2+By2+C

A2+B2

．
①若d₁-d₂=0，則若d₁=d₂，即

Ax1+By1+C

A2+B2

=

Ax2+By2+C

A2+B2

，
∴Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C，
∴若d₁=d₂=0時，即Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點P₁，P₂都在直線l，∴此時直線P₁P₂與直線l重合，∴①錯誤．
②由①知，若d₁=d₂=0時，滿足d₁+d₂=0，
但此時Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點P₁，P₂都在直線l，∴此時直線P₁P₂與直線l重合，∴②錯誤．
③由①知，若d₁=d₂=0時，滿足d₁+d₂=0，
但此時Ax₁+By₁+C=Ax₂+By₂+C=0，
則點P₁，P₂都在直線l，∴此時直線P₁P₂與直線l重合，∴③錯誤．
④若d₁•d₂＜0，則

Ax1+By1+C

A2+B2

?

Ax2+By2+C

A2+B2

＜0，
即（Ax₁+By₁+C）（Ax₂+By₂+C）＜0，
∴點P₁，P₂分別位于直線l的兩側，
∴直線P₁P₂與直線l相交，
∴④正確．
故答案為：④．

點評：本題主要考查與直線距離有關的命題的判斷，利用條件推出點與直線的位置關系是解決本題的關鍵．綜合性較強．