Question

將正數數列{a_n}中的所有項按每一行比上一行多一項的規則排成數表，如圖所示．記表中各行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成數列為{b_n}，各行的最后一個數a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構成數列為{c_n}，第n行所有數的和為s_n（n=1，2，3，4，…）．已知數列{b_n}是公差為d的等差數列，從第二行起，每一行中的數按照從左到右的順序每一個數與它前面一個數的比是常數q，且a1=a13=1，a31=

5

3

．
（1）求數列{c_n}，{s_n}的通項公式．
（2）求數列{c_n}的前n項和T_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）利用表中各行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成數列為{b_n}，可得b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

個數，再結合a1=a13=1，a31=

5

3

，可求數列{b_n}，{c_n}，{s_n}的通項公式；
（2）根據數列{c_n}的通項特點，利用錯位相減法，可求數列{c_n}的前n項和T_n的表達式．

解答：解：（1）∵表中各行的第一個數a₁，a₂，a₄，a₇，…構成數列為{b_n}，
∴b_n=dn-d+1，前n行共有1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

個數，
因為13=

4×5

2

+3，所以a13=b5×q2，即（4d+1）q²=1
又因為31=

7×8

2

+3，所以a31=b8×q2，即(7d+1)q2=

5

3

，
解得：d=2，q=

1

3

，…（4分）
所以：b_n=2n-1，
∵各行的最后一個數a₁，a₃，a₆，a₁₀，…構成數列為{c_n}，
∴cn=bn(

1

3

)n-1=

2n-1

3n-1

，
∵第n行所有數的和為s_n，
∴Sn=

(2n-1)(1- 1 3n )

1- 1 3

=

3

2

(2n-1)•

3n-1

3n

．…（7分）
（2）∵cn=bn(

1

3

)n-1=

2n-1

3n-1

，
∴Tn=

1

1

+

3

3

+

5

32

+…+

2n-1

3n-1

，…①…（8分）

1

3

Tn=

1

3

+

3

32

+

5

33

+…+

2n-1

3n

…②…（9分）
①②兩式相減得：

2

3

Tn=1+2(

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

2n-1

3n

=1+2×

1 3 - 1 3n

1- 1 3

-

2n-1

3n

=2-

2n+2

3n

…（13分）
所以：Tn=3-

n+1

3n-1

．…（14分）

點評：本題考查數陣與數列的額連續，考查數列的通項與求和，考查錯位相減法的運用，針對數列通項的特點，選擇正確的方法是關鍵．