Question

過點P(1，0)作曲線C：y=x²(x＞0)的切線，切點為Q₁.設Q₁在x軸上的投影是P₁，又過P₁作曲線C的切線，切點為Q₂，設Q₂在x軸上的投影是P₂，…，依次下去，得到一系列點Q₁，Q₂，…，Q_n，設點Q_n的橫坐標為a_n.

(Ⅰ)求a₁的值，并求a_n與a_n-1(n≥2)的關系式；

(Ⅱ)令b_n=，設數列{b_n}的前n項和為T_n,求T_n；

(Ⅲ)令S_n=a₁+a₂+…+a_n，比較S_n與P(n)=n²+2n-1，n∈N^*的大小.

Answer 1

解：(Ⅰ)y=2x,過點Qn(a_n,,)切線方程為y-=2a_n(x-a_n).

當n=1時,切線y-=2a₁(x-a1)過(1,0),得a₁=2,

當n≥2時,切線y-=2a_n(x-a_n)過P_n-1(a_n-1,0),得a_n=2a_n-1.   

(Ⅱ)∵a_n=2a_n-1,∴{a_n}是以2為首項,公比為2的等比數列,

∴a_n=2ⁿ,  (5分)

b_n=,(6分)

.

(Ⅲ)S_n=a₁+a₂+…+a_n=2ⁿ⁺¹-2,P(n)=n²+2n-1=(n+1)²-2.

∴要比較S_n與P(n)的大小,只要比較2ⁿ⁺¹與(n+1)²的大小即可.

當n=l時,S₁=P(1)；當n=2時,S₂＜P(2)；

當n=3時,S₃=P(3)； 

當n≥4時,2ⁿ⁺¹=(1+1)ⁿ⁺¹展開式至少6項,

∴2ⁿ⁺¹=(1+1)ⁿ⁺¹=≥2()=2[1+n+1+1+]＞(n+1)2.

∴當n≥4時,S_n＞P(n).  (也可用數學歸納法證明略).