Question

設橢圓C的中心在原點，焦點在y軸上，離心率為

2

2

，其一個頂點的坐標是（1，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）若斜率為2的直線l過橢圓C在y軸正半軸上的焦點，且與該橢圓交于A、B兩點，求AB的中點坐標．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓C的標準方程，利用離心率為

2

2

，其一個頂點的坐標是（1，0），求出幾何量，即可求得橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）直線方程代入橢圓方程．利用韋達定理及中點坐標公式，即可求得結論．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓C的標準方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1，其焦點為（0，±c）（2分）
由已知得 b²=1，

c

a

=

2

2

，（6分）
又a²=b²+c²（8分）∴a²=2，c=1
∴橢圓C的標準方程為

y2

2

+x2=1（9分）
（Ⅱ）直線l的方程為 y-1=2（x-0），即y=2x+1
設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
AB中點坐標為M（x₀，y₀）
由

y2 2 +x2=1 y=2x+1

得6x²+4x-1=0（12分）
∴x1+x2=-

4

6

=-

2

3

，x0=

x1+x2

2

=-

1

3

y0=

y1+y2

2

=x1+x2+1=

1

3

∴AB中點坐標為M(-

1

3

，

1

3

)（15分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查學生的計算能力，屬于中檔題．