Question

定義數列： ，且對任意正整數，有.

（1）求數列的通項公式與前項和；

（2）問是否存在正整數，使得？若存在，則求出所有的正整數對

；若不存在，則加以證明.

 

Answer 1

【答案】

（1），；

（2）見解析.

【解析】考查了等差、等比數列的通項公式、求和公式，數列的分組求和等知識，考查了學生變形的能力，推理能力，探究問題的能力，分類討論的數學思想、化歸與轉化的思想以及創新意識．

解：（1）對任意正整數k，

 ，

.      1分

   所以數列是首項,公差為2等差數列；數列是首項

,公比為3的等比數列.    2分

對任意正整數k, ,.      3分

所以數列的通項公式  4分

對任意正整數k,

. 5分

   6分

所以數列的前n項和為

. 7分

 (2)  ,

從而,由知m=1,2,3     8分

①當時,   9分

②當時,    10分     

③當時,

      13分     

綜上可知,符合條件的正整數對(m,n)只有兩對：(2,2,)與(3,1) 14分