Question

設函數f(x)=2x³-3(a+1)x²+6ax+8,其中a∈R.

(1)若f(x)在x=3處取得極值，求常數a的值；

(2)若f(x)在（-∞,0）上為增函數，求a的取值范圍。

Answer 1

解析：（1）f′(x)=6x²-6(a+1)x+6a=6(x-a)(x-1).

因f(x)在x=3取得極值，所以f′(3)=6（3-a）(3-1)=0.解得a=3.

經檢驗知，當a=3時，x=3為f(x)的極值點.

（2）令f′(x)=6（x-a）(x-1)=0得?x₁=a,x₂=1.

當a＜1時，若x∈(-∞,a)∪(1,+∞),則f′(x)＞0,所以f(x)在（-∞,a）和?（1，+∞）上為增函數，故當0≤a＜1時，f(x)在（-∞,0）上為增函數.

當a≥1時，若x∈(-∞,1)∪（a,+∞），則f′(x)＞0，所以f(x)在（-∞,1）和（a,?+∞）上為增函數，從而f(x)在（-∞,0）上也為增函數.

綜上所述，當a∈［0,+∞）時，f(x)在（-∞,0）上為增函數.