Question

已知前n項和為S_n的等差數列{a_n}的公差不為零，且a₂=3，又a₄，a₅，a₈成等比數列．
（Ⅰ）求數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若函數f（x）=Asin（3x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在處取得最小值為S₇，求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為a₄，a₅，a₈成等比數列，所以．
設數列{a_n}的公差為d，則．（3分）
將a₂=3代入上式化簡整理得d²+2d=0．又因為，所以d=-2．
于是a_n=a₂+（n-2）d=-2n+7，即數列{a_n}的通項公式為a_n=-2n+7．（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，于是S₇=-7，
所以函數f（x）的最小值為-7，由A＞0，于是A=7． （2分）
又因為函數f（x）在處取得最小值，則，因為0＜φ＜π，所以．
故函數f（x）的解析式為． （2分）
于是由2kπ-π≤3x≤2kπ，k∈Z，得，k∈Z，
所以函數f（x）的單調遞增區間為．（2分）
分析：（Ⅰ）利用a₄，a₅，a₈成等比數列，設數列{a_n}的公差為d，則，求出d．然后求出數列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，S_n，利用S₇=-7，推出A=7．又函數f（x）在處取得最小值，求出．推出函數f（x）的解析式，求出函數f（x）的單調遞增區間．
點評：本題考查正弦函數的單調性，等差數列的通項公式，等比數列的性質，考查計算能力．