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已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體
①函數f（x）在其定義域上是單調函數．
②f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域為[
a
2
，
b
2
]．
（1）判斷函數f(x)=x+
2
x
(x＞0)是否屬于M，說明理由．
（2）判斷g（x）=-x3是否屬于M，說明理由，若是，求出滿足②的區間[a，b]．
分析：（1）確定函數在其定義域上不是單調函數，即可求得結論；
（2）利用新定義，建立方程組，從而可得結論．
解答：解：（1）∵f(x)=x+
2
x
(x＞0)在（0，
2
）上單調遞減，在（
2
，+∞）上單調遞增
∴函數f(x)=x+
2
x
(x＞0)不屬于M；
（2）∵g（x）=-x3在R上遞減
∴若g（x）=-x3屬于M，則
-a3=
b
2
-b3=
a
2

∴a=-
2
2
，b=
2
2

∴滿足②的區間為[-
2
2
，
2
2
]
點評：本題考查新定義，考查學生的計算能力，正確理解新定義是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①函數f（x）在其定義域上是單調函數；
②在函數f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，且最大值是
b
2
．請解答以下問題
（1）判斷函數f(x)=x+
2
x
(x∈(0，+∞))是否屬于集合M？并說明理由；
（2）判斷函數g（x）=-x3是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（3）若函數h(x)=
x-1
+t∈M，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：
①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在f（x）的定義域內存在區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的值域是[
1
2
a，
1
2
b]．
（Ⅰ）判斷函數y=-x3是否屬于集合M？并說明理由．若是，請找出區間[a，b]；
（Ⅱ）若函數y=
x-1
+t∈M，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）組成的集合：①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；②在f（x）的定義域內存在區間，使得f（x）在[a，b]上的值域是[
1
2
a，
1
2
b]．
（Ⅰ）判斷函數f(x)=
x
是否屬于集合M？若是，則求出a，b，若不是，說明理由；
（Ⅱ）若函數f(x)=
x-1
+t∈M，求實數t的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知集合M是同時滿足下列兩個性質的函數f（x）的全體：①f（x）在其定義域上是單調函數；②在f（x）的定義域內存在閉區間[a，b]，使得f（x）在[a，b]上的最小值是
a
2
，最大值是
b
2
．請解答以下問題：
（1）判斷函數g（x）=-x3是否屬于集合M？并說明理由，若是，請找出滿足②的閉區間[a，b]；
（2）若函數h(x)=
x-1
+t∈M，求實數t的取值范圍．

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