Question

19.設(shè)橢圓方程為x²+=1,過(guò)點(diǎn)M（0,1）的直線l交橢圓于點(diǎn)A、B，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足=（+），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（,）.當(dāng)l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求：

（Ⅰ）動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；

（Ⅱ）||的最小值與最大值.

Answer 1

19.本小題主要考查平面向量的概念、直線方程的求法、橢圓的方程和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，以及軌跡的求法與應(yīng)用、曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力.

（Ⅰ）解法一：直線l過(guò)點(diǎn)M（0,1），設(shè)其斜率為k,則l的方程為y=kx+1.

記A（x₁,y₁）、B（x₂, y₂）,由題設(shè)可得點(diǎn)A、B的坐標(biāo)（x₁,y₁）、（x₂,y₂）是方程組

的解.                                                                    

將①代入②并化簡(jiǎn)得，（4+k²）x²+2kx－3=0,所以

于是

=（+）=（，）=（，）.

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x,y），則

消去參數(shù)k得

4x²+y²－y=0.                                                                        ③

當(dāng)k不存在時(shí)，A、B中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)（0,0），也滿足方程③，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

4x²+y²－y=0.                                                         

解法二：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x, y），因A（x₁, y₁）、B（x₂, y₂）在橢圓上，所以

x₁²+=1,                                                                                 ④

x₂²+=1.                                                                                ⑤

④－⑤得x₁²－x₂²+（y₁²－y₂²）=0,所以

（x₁－x₂）（x₁+x₂）+（y₁－y₂）（y₁+y₂）=0.

當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，有

x₁+x₂+（y₁+y₂）·=0，                                        ⑥

并且

                                                              ⑦

將⑦代入⑥并整理得

4x²+y²－y=0.                                                                     ⑧

當(dāng)x₁=x₂時(shí)，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（0,2）、（0,－2），這時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0,0）也滿足⑧，所以點(diǎn)P的軌跡方程為

+=1.　　                         

（Ⅱ）解：由點(diǎn)P的軌跡方程知x²≤,即－≤x≤.所以

|| ²=（x－）²+（y－）²=（x－）²+－4x²=－3（x+）²+.              

 故當(dāng)x=時(shí)，||取得最小值，最小值為；當(dāng)x=－時(shí)，||取得最大值，最大值為.