Question

已知橢圓的中心為O，長軸、短軸的長分別為2a，2b（a＞b＞0），A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB．
（1）求證：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值；
（2）求△AOB面積的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）可利用直線OA，OB方程與橢圓方程聯立求A，B點坐標滿足的一元方程，進而求出A，B的橫縱坐標的平方，代入

1

|OA|2

+

1

|OB|2

，化簡即可．
（2）由S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

，可根據均值不等式求最小值，再根據S²_△AOB=

1

4

|OA|2|OB|2，把|OB|²轉化為|OA|²，再根據橢圓中|OA|范圍即可求出面積最大值．

解答：解：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=  1，設當直線OA斜率存在且不為0時，設方程為y=kx，
∵A，B分別為橢圓上的兩點，且OA⊥OB．∴直線OB方程為y=-

1

k

x
設A（x₁，y₁），b（x₂，y₂），把y=kx代入

x2

a2

+

y2

b2

=1得x12=

a2b2

b2+a2k2

，∴y12=

k2a2b2

b2+a2k2

把y=-

1

k

x代入

x2

a2

+

y2

b2

=1，得 x22=

a2b2k2

a2+b2k2

，∴y22=

a2b2

a2+b2k2

                        
 

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

x12+y12

+

1

x22+y22

=

1

a2b2 b2+a2k2 +   k2a2b2 b2+a2k2

+

1

a2b2k2 a2+b2k2 +   a2b2 a2+b2k2

=

a2+b2

a2b2

當直線OA，OB其中一條斜率不存在時，則另一條斜率為0此時

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

1

a2

+

1

b2

=

a2+b2

a2b2

綜上，

1

|OA|2

+

1

|OB|2

為定值

（2）S_△AOB=

1

2

|OA||OB|，∴S²_△AOB=

1

4

|OA|²|OB|²
由（1）知

1

|OA|2

+

1

|OB|2

=

a2+b2

a2b2

≥2

1 |OA|2 1 |OB|2

=

2

|OA||OB|

∴S_△AOB=

1

2

|OA||OB|≥

a2b2

a2+b2

，∴S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

．
∵S²_△AOB=

1

4

|OA|²|OB|²=

1

4

|OA|²(

1

a2+b2 a2b2 -   1 |OA|2

)
=

1

4

(

1

a2+b2 a2b2|OA|2 -  1 |OA|4

)，隨著|OA|的增加，此函數值在增加
∵|OA|≤a，∴S²_△AOB≤

1

4

(

1

a2+b2 a2×b2×a2 - 1 a4

)=

1

4

a²b²
∴S△AOBmax=

ab

2

綜上S△AOBmin=

a2b2

a2+b2

，S△AOBmax=

ab

2

點評：本題考查了橢圓中定植問題和最值問題，與不等式聯系，題目較難，應認真分析題意．