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已知f(x)=ax2+bx+c(a＞0)的圖象與x軸有兩個不同的交點，且f(c)=0,當0＜x＜c時，f(x)＞0.

（1）求證：＞c;

（2）求證：-2＜b＜-1;

（3）當c＞1,t＞0時，求證：++＞0.

思路解析：（1）直接證明＞c較難，可以考慮反證法；（2）綜合法可以推導出-2＜b＜-1;（3）構造函數證明++＞0比較方便.

證明：（1）∵f(x)的圖象與x軸有兩個不同的交點,

∴f(x)=0有兩個不同的實根x1、x2.

又∵f(c)=0,∴c是方程f(x)=0的一個根.

不妨設x1=c,x2是另一個根,∴x1x2=.

∴x2=,即f()=0.

假設＜c，則有0＜＜c.

∵當0＜x＜c時,f(x)＞0,∴f()＞0.

這與f()=0矛盾.

∴＞c.

（2）由（1）得＞c.

∵a＞0,c＞0,∴1＞ac＞0.

∵、c是ax2+bx+c=0的兩個根，∴+c=-.

∴1+ac=-b.∴ac=-1-b.∴1＞-1-b＞0.∴有-2＜b＜-1.

（3）∵t＞0,∴++＞0

*t(t+1)a+t(t+2)b+(t+1)(t+2)c＞0

(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0.                                  ①

設g(t)=(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c.

∵c＞1＞0,∴f(1)＞0,即a+b+c＞0.

又∵-2＜b＜-1,

∴a+2b+3c=(a+b+c)+(b+2c)＞b+2c＞b+2＞0.

∴二次函數g(t)的對稱軸t=-＜0.

∴g(t)在［0，+∞)上是增函數.

∴t＞0時有g(t)＞g(0)=2c＞0.

∴(a+b+c)t2+(a+2b+3c)t+2c＞0成立.

∴++＞0.


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
為奇函數（a，b是常數），且函數f（x）的圖象過點(1，
1
3
)
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，求數列{an2}的通項公式；
（3）已知b&n=
a
2
n
a
2
n+1
2n-2
，設Sn為bn的前n項和，證明：
1
6
≤Sn＜
1
2
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+x
2x2+b
（a，b為常數）為奇函數，且過點(1，
1
3
)．
（1）求f（x）的表達式；
（2）定義正數數列{an}，a1=
1
2
，
a
2
n+1
=2anf(an)(n∈N*)，證明：數列{
1
a
2
n
-2}是等比數列；
（3）令bn=
1
a
2
n
-2，Sn為{bn}的前n項和，求使Sn＞
31
8
成立的最小n值．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+2
b-3x
是定義在（-∞，0）∪（0，+∞）上的奇函數，f(2)=-
5
3
．
（1）求a，b的值；
（2）請用函數單調性的定義說明：f（x）在區間（1，+∞）上的單調性；
（3）求f（x）的值域．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知f(x)=
ax2+bx+1
x+c
(a＞0)是奇函數，且當x＞0時，f（x）有最小值2
2
，求f（x）的表達式．

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