Question

（2013•徐州模擬）已知中心為O的正方形ABCD的邊長為2，點M，N分別為線段BC，CD上的兩個不同點，且|

MN

|=1，則

OM

•

ON

的取值范圍是

[2-

2

，1]

．

Answer 1

分析：設M（2，b），N（a，2）．由|

MN

|=1，可得

(2-a)2+(b-2)2

=1，即（a-2）²+（b-2）²=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．如圖所示，建立平面直角坐標系．
又

OM

•

ON

=（1，b-1）•（a-1，1）=a+b-2．作出可行域，即可得出答案．

解答：解：如圖所示，建立平面直角坐標系．
設M（2，b），N（a，2）．∵|

MN

|=1，∴

(2-a)2+(b-2)2

=1，即（a-2）²+（b-2）²=1．且1≤a≤2，1≤b≤2．
又O（1，1），∴

OM

•

ON

=（1，b-1）•（a-1，1）=a+b-2．
令a+b-2=t，則目標函數b=-a+2+t，
作出可行域

(a-2)2+(b-2)2=1 1≤a≤2 1≤b≤2

，如圖2，其可行域是

1

4

圓弧．
①當目標函數與圓弧相切與點P時，

|-2+t|

2

=1，解得t=2-

2

取得最小值；
②當目標函數經過點EF時，t=2+1-2=1取得最大值．
∴t∈[2-

2

，1]．即為

OM

•

ON

的取值范圍．
故答案為[2-

2

，1]．

點評：本題綜合考查了向量的模的計算公式、線性規劃等基礎知識，及數形結合思想方法．熟練掌握是解題的關鍵．