Question

已知向量

m

=(cos2x+a，-1)，

n

=(1，

3

asinxcosx-2)，函數f（x）=

m

•

n

的圖象關于x=

π

3

對稱．
（1）求f（x）的解析式和單調遞增區間；
（2）先將f（x）的圖象向右平移

π

6

個單位，再將其縱坐標縮小到原來的

1

2

倍得到g（x）的圖象，記函數y=g（x）-4tcosx-3t的最小值為h（t），求h（t）的解析式和最大值．

Answer 1

分析：（1）利用兩個向量的數量積的運算法則求出函數f(x)=

m

•

n

的解析式，再由它的圖象關于x=

π

3

對稱，求出a的值進一步確定f（x）的解析式，從而求出f（x）的單調區間．
（2）由函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律求得g（x）=cos2x+2的圖象，從而求得函數y=g（x）-4tcosx-3t 的解析式，由此求得g（x）的最小值為h（t）的值．

解答：解：（1）∵f(x)=

m

•

n

=cos2x+a-

3

asinxcosx+2=cos2x-

3

2

asin2x+a+2．
又函數f(x)=

m

•

n

的圖象關于x=

π

3

對稱，
則 f（

π

3

）為函數的最值，故有|-

1

2

-

3

4

a|=

1+( 3 2 a)2

，∴a=2，
∴f(x)=2cos(2x+

π

3

)+4．
∵2kπ+π≤2x+

π

3

≤2kπ+2π，∴kπ+

π

3

≤x≤kπ+

5π

6

，k∈Z．
 所以，f（x）的單調遞增區間為：[kπ+

π

3

，kπ+

5π

6

]，k∈Z．
（2）先將f（x）=2cos(2x+

π

3

)+4 的圖象向右平移

π

6

個單位，可得y=2cos[2(x-

π

6

)+

π

3

]+4=2cos2x+4的圖象，
再再將其縱坐標縮小到原來的

1

2

倍得到g（x）=cos2x+2的圖象，
∴函數y=g（x）-4tcosx-3t=2cos²x-4tcosx-3t+1．
∴g（x）的最小值為h（t）=

t+3 ， t≤-1 -2t2-3t +1  ，  -1＜t＜1 -7t+3  ， t≥1

．
故當 t≤-1時，h（t）_max=2；-1＜t＜1時，h（t）_max=

17

8

； t≥1時，h（t）_max=-4．
綜上可得，h（t）_max=

17

8

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，函數y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規律，三角函數的圖象的對稱性、單調性，由分段函數的解析式求函數的最大值，體現了
分類討論的數學思想，屬于中檔題．