Question

（得分不計入總成績）已知二次函數，若不等式的解集為.

（1）求集合；

（2）若方程在上有解，求實數的取值范圍；

（3）記在上的值域為，若，的值域為，且

，求實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）C=[-1，1] （2）或a≥5；（3）

【解析】第一問中，利用絕對值不等式求解得到解集，

當x≥0時，

當x<0時，

第二問中，方程在上有解，即令a^x=u

設    ∵

當a>1時，，h(u)=0在上有解

當0<a<1時，，h(u)=0在上有解，

所以∴當或a≥5時，方程在C上有解，且有唯一解。

第三問中，,

t≤0時，，函數在x∈[0，1]單調遞增，

∴ 函數g(x)的值域所以則有

從而得到范圍。

解：(1) f(x)+f(-x)=2x²

當x≥0時，

當x<0時，

∴集合C=[-1，1]                                          ------------2分

(2)，令a^x=u

設    ∵

當a>1時，，h(u)=0在上有解，

則                     ------------4分

當0<a<1時，，h(u)=0在上有解，

則                                  -------------6分

∴當或a≥5時，方程在C上有解，且有唯一解。     -------------7分

(3),

①當t≤0時，，函數在x∈[0，1]單調遞增，

∴ 函數g(x)的值域，

，         --------9分

②當t≥1，，函數g(x)在區間[0,1]單調遞減，

  

又t≥1，所以t≥4                                       ----------11分

③當0<t<1時，令得（舍去負值），

當時，，當時，．

∴函數g(x)在單調遞增；在單調遞減，g(x)在達到最小值。

要使，則

，無解。                        -------------14分

綜上所述：t的取值范圍是。             -------------15分