Question

在平面直角坐標系xoy中，已知三點O（0，0），A（-1，1），B（1，1），曲線C上任意-點M（x，y）滿足：|

MA

+

MB

|=4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)．
（l）求曲線C的方程；
（2）設點P是曲線C上的任意一點，過原點的直線L與曲線相交于M，N兩點，若直線PM，PN的斜率都存在，并記為k_PM，k_PN．試探究k_PM•k_PN的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論；
（3）設曲線C與y軸交于D、E兩點，點M （0，m）在線段DE上，點P在曲線C上運動．若當點P的坐標為（0，2）時，|

MP

|取得最小值，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）算出向量

MA

、

MB

的坐標，從而得到|

MA

+

MB

|關于x、y的表達式，代入題中等式并化簡，即得：

x2

3

+

y2

4

=1，即為所求曲線C的方程．
（2）設P（x，y），M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀），將M、N坐標分別代入（1）中求出的橢圓方程，再作差化簡整理，可得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

．由此化簡k_PM•k_PN，得k_PM•k_PN的值恒等于-

4

3

，與點P的位置和直線L的位置無關．
（3）將P（x，y）代入橢圓方程，可得x²=3-

3

4

y²且-2≤y≤2，由此化簡得|

MP

|=

1 4 (y-4m)2-3m2+3

．因為當點P的坐標為（0，2）時|

MP

|取得最小，所以結合二次函數的性質得4m≥2，解之得m≥

1

2

．最后結合-2≤y≤2，即可得到實數m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，可得
∵A（-1，1），B（1，1），M（x，y）
∴

MA

+

MB

=(-1-x，1-y)+(1-x，1-y)=(-2x，2-2y)，
由此可得，|

MA

+

MB

|=

(-2x)2+(2-2y)2

=

4x2+4y2-8y+4

，
又∵|

MA

+

MB

|=4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)，且4-

1

2

OM

•(

OA

+

OB

)=4-

1

2

(x，y)•(0，2)=4-y，
∴

4x2+4y2-8y+4

=4-y，
化簡整理得：

x2

3

+

y2

4

=1，即為所求曲線C的方程．
（2）因為過原點的直線L與橢圓相交的兩點M，N關于坐標原點對稱，
所以可設P（x，y），M（x₀，y₀），N（-x₀，-y₀）．
∴P，M，N在橢圓上，
∴

x2

3

+

y2

4

=1，…①．

x 2 0

3

+

y 2 0

4

=1，…②
①-②，得

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

．
又∵kPM=

y-y0

x-x0

，kPN=

y+y0

x+x0

，
∴kPM•kPN=

y-y0

x-x0

•

y+y0

x+x0

=

y2- y 2 0

x2- x 2 0

=-

4

3

，
因此，k_PM•k_PN的值恒等于-

4

3

，與點P的位置和直線L的位置無關．
（3）由于P（x，y）在橢圓C：

x2

3

+

y2

4

=1上運動，可得x²=3-

3

4

y²且-2≤y≤2
∵

MP

=（x，y-m），
∴|

MP

|=

x2+(y-m)2

=

1 4 y2-2my+m2+3

=

1 4 (y-4m)2-3m2+3

由題意，點P的坐標為（0，2）時，|

MP

|取得最小值，
即當y=2時，|

MP

|取得最小值，而-2≤y≤2，故有4m≥2，解之得m≥

1

2

．
又∵橢圓C與y軸交于D、E兩點的坐標為（0，2）、（0，-2），而點M在線段DE上，即-2≤m≤2，
∴

1

2

≤m≤2，實數m的取值范圍是[

1

2

，2]．

點評：本題給出曲線C上的動點滿足的向量等式，求曲線C的方程并討論斜率之積為定值的問題，著重考查了軌跡方程的求法、橢圓的簡單幾何性質、直線與橢圓位置關系和向量的數量積運算等知識，屬于中檔題．