Question

（2009•黃岡模擬）設函數f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

-…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*．
（1）討論函數f₂（x）的單調性；
（2）判斷方程f_n（x）=0的實數解的個數，并加以證明．

Answer 1

分析：（1）寫出要用的函數，對于函數求導，導函數是一個二次函數，配方整理看出導函數一定小于0，得到函數的單調性．
（2）首先驗證當n=1時，只有一個解，在驗證n大于等于2時的情況，求出導數，根據導數的正負看出函數的單調性，看出交點的個數．

解答：解：（1）f₂（x）=1+x-

1

2

x²+

1

3

x³，f₂′（x）=-1-x+x²=（x-

1

2

）²+

3

4

＞0，
所以f₂（x）在R單調遞增．
（2）f₁（x）=1+x有唯一實數解x=-1
由f_n（x）=1+x-

x2

2

+

x3

3

+…+

x2n-1

2n-1

，n∈N^*，
得f_n′（x）=1-x+x²-…-x^2n-3+x^2n-2．
（1）若x=-1，則f_n′（x）=（2n-1）＞0．
（2）若x=0，則f_n′（x）=1＞0．
（3）若x≠-1，且x≠0時，則f_n′（x）=

x2n-1+1

x+1

．
①當x＜-1時，x+1＜0，x^2n-1+1＜0，f_n′（x）＞0．
②當x＞-1時，f_n′（x）＞0
綜合（1），（2），（3），得f_n′（x）＞0，
即f_n（x）在R單調遞增．          （10分）
又f_n（0）=1＞0，f_n（-1）=1+（-1）-

1

2

+

1

3

-…-

1

2n-2

+

1

2n-1

＜0，
所以f_n（x）在（-1，0）有唯一實數解，從而f_n（x）在R有唯一實數解．
綜上，f_n（x）=0有唯一實數解．

點評：本題考查函數與方程的關系和導數的應用，本題解題的關鍵是可以導數看出函數的單調性，根據單調性確定函數與橫軸的交點個數．