Question

（本小題滿分14分）如圖，斜三棱柱的底面是直角三角形，，點在底面上的射影恰好是的中點，且．

（Ⅰ）求證：平面平面；

（Ⅱ）求證：；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）證明：設的中點為.

在斜三棱柱中，點在底面上的射影恰好是的中點,

     平面ABC.         ……………………1分

平面，

.               ……………………2分

，

∴.

，

∴平面.       ……………………4分

平面， 平面平面.   ……………………5分

解法一：（Ⅱ）連接，平面，

是直線在平面上的射影.     ……………………………5分

，四邊形是菱形..   …………………7分

.        ………………………………………9分

（Ⅲ）過點作交于點，連接.

，平面.

.

是二面角的平面角.               ………………………………………11分

設，則，

....

平面，平面，..

在中，可求.

∵，∴.∴.

.   ………………………………………13分

.∴二面角的大小為.   ……………14分

解法二：（Ⅱ）因為點在底面上的射影是的中點，設的中點為，則平面ABC.以為原點，過平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.

設，由題意可知，.

設，由，得

………………………………………7分

.  又..

.                                         …………………………………9分

（Ⅲ）設平面的法向量為.

則∴.

設平面的法向量為.則

∴.       ………………………………………12分

.             ……………………………13分

二面角的大小為.      …………………………………14分