Question

如圖所示，四棱錐P—ABCD中，ABAD，CDAD，PA底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點。

(1)求證：BM∥平面PAD；

(2)在側面PAD內找一點N，使MN平面PBD；

(3)求直線PC與平面PBD所成角的正弦。

Answer 1

解析：本小題考查直線與平面平行，直線與平面垂直，二面角等基礎知識，考查空間想象能力和推理論證能力.

答案：（1）是的中點，取PD的中點，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥        （4分）

 （2）以為原點，以、、 所在直線為軸、軸、軸建立空間直角坐標系，如圖，則，，，，，

在平面內設，，，  由        

由        

是的中點，此時                    （8分）

 （3）設直線與平面所成的角為

，，設為

   

故直線與平面所成角的正弦為                            （12分）

解法二：

 （1）是的中點，取PD的中點，則

，又

四邊形為平行四邊形

∥，

∥        （4分）

 （2）由（1）知為平行四邊形

，又

    同理，

    為矩形    ∥，，又

        

    作故

交于，在矩形內，，

，    為的中點

當點為的中點時，                                （8分）

 （3）由（2）知為點到平面的距離，為直線與平面所成的角，設為，

直線與平面所成的角的正弦值為       

點評：（1）證明線面平行只需證明直線與平面內一條直線平行即可；（2）求斜線與平面所成的角只需在斜線上找一點作已知平面的垂線，斜線和射影所成的角，即為所求角；（3）證明線面垂直只需證此直線與平面內兩條相交直線垂直變可.這些從證法中都能十分明顯地體現出來