Question

(本小題滿分13分)

設(shè)雙曲線，點A、B分別為雙曲線C實軸的左端點和虛軸的上端點，點、分別為雙曲線C的左、右焦點，點M、N是雙曲線C的右支上不同兩點，點Q為線段MN的中點．已知在雙曲線C上存在一點P，使得．

（Ⅰ）求雙曲線C的離心率；

（Ⅱ）設(shè)為正常數(shù)，若點Q在直線上，求直線MN在y軸上的截距的取值范圍.　

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）直線MN在y軸上的截距的取值范圍是

解析:

（Ⅰ）由題設(shè)，點，，，，其中.（1分）

因為，則.

設(shè)點P，則，所以，.       （3分）

因為點P在雙曲線上，所以，即.       （4分）

因為，所以，即，故離心率．                    （6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，則.                                 （7分）

若軸，則Q在x軸上，不合題意.

設(shè)直線MN的方程為，代入，得，即

.                            （*）            （9分）

若，則MN與雙曲線C的漸近線平行，不合題意.

設(shè)點，，，則

，，.                  （10分）

若點Q在直線上，則.

因為點M、N在雙曲線的右支上，所以m≠0，從而k＝4.                         （11分）

此時，方程(*)可化為.

由，得.                                （12分）

又M、N在雙曲線C 的右支上，則，所以.

故直線MN在y軸上的截距的取值范圍是．                         （13分）