Question

已知圓C過點P（1，1），且與圓M：(x+2)²+(x+2)²=r²(r>0)²關于直線x+y+2=0對稱．
⑴求圓C的方程；
⑵設Q為圓C上的一個動點，求的最小值；
⑶過點P作兩條相異直線分別與圓C相交于A，B，且直線PA和直線PB的傾斜角互補，O為坐標原點，試判斷直線OP和AB是否平行？請說明理由．

Answer 1

（1）；（2）-4；（3）OP∥AB；理由祥見解析．

試題分析：（1）由于兩圓關于某直線對稱，則兩圓的圓心關于該直線對稱且半徑相等；所以可先由圓C與圓M：(x+2)²+(x+2)²=r²(r>0)²關于直線x+y+2=0對稱，求出圓Ｃ的圓心Ｃ的坐標（x₀,y₀），進而寫出圓C的方程，再由圓C過點P（1，1）就可求出半徑r的值，從而得圓Ｃ的方程；其中求圓心Ｃ的坐標（x₀,y₀）這樣進行：因為圓M的圓心M(-2,-2),所以有MC的中點在直線x+y+2=0上，且MC與直線x+y+2=0垂直，可列出關于x₀,y₀的方程組，解此方程組就可求得x₀,y₀的值；（2）設出點Q的坐標,則可用點Q的坐標表示出來,再由點Q在圓C上,可考慮用三角換元或用數形結合法來求的最小值;（3）由于直線PA和直線PB的傾斜角互補且PA與PB是兩條相異直線,所以兩直線的傾斜角均不為90⁰,從而兩直線的斜率都存在,若設PA的斜率為k，則PB的斜率就為-k,從而就可寫出兩直線的方程，與圓C的方程結合起來就可用k的式子表示出A，B兩點的從標，從而就可求出直線AB的斜率，又OP的斜率可求，從而就可判斷直線OP和AB是否平行了．
試題解析：（1）設圓Ｃ的圓心Ｃ的坐標為(x₀,y₀）,由于圓M的圓心M(-2,-2),則有:,所以圓C的方程為:,又因為圓C過點P（1，1）,所以有,故知:⊙C的方程為：
（2）設Q（x、y），則，從而可設
則
所以的最小值為-4.
（3）設PA的方程為：，則PB的方程為：
由得，同理可得：

OP∥AB．