Question

如圖，在棱錐P－ABCD中，側面PDC是邊長為2的正三角形，且與底面垂直，底面ABCD是菱形，且∠ADC＝，M為PB的中點．

(Ⅰ)求證：PA⊥CD；

(Ⅱ)求二面角P－AB－D的度數；

(Ⅲ)求證：平面CDM⊥平面PAB；

(Ⅳ)求三棱錐B—CDM的體積．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅰ)證明：依條件得 　　 　　∴△ADC為等邊三角形，又△PDC也為等邊三角形． 　　設CD中點為H，連PH，AH， 　　∵PH⊥CD，AH⊥CD， 　　∴CD⊥面PHA，又面PHA，∴PA⊥CD， (Ⅱ)解：∵AB∥CD，由(Ⅰ)可知PA⊥AB，AH⊥AB， 　　∴∠PAH是二面角P－AB－D的平面角， 　　∵∠PHA＝，PH＝AH，∴∠PAH＝， 　　即二面角P－AB－D的度數為， (Ⅲ)證明：設平面CDM與PA交于點N，連MN，HN， 　　∵AB∥CD，∴AB∥面CDNM，∴AB∥NM， 　　∵AB⊥PA∴MN⊥PA，① 　　又∵M是PB的中點，∴N是PA的中點， 　　又在△PHA中，∠PHA＝，PH＝AH，∴HN⊥PA，② 　　由①，②得：PA⊥面CDM，又面PAB， 　　∴面CDM⊥面PAB， (Ⅳ)解：(文科)∵， 　　又點M到面BCD的距離等于PH， 　　∴ 　　(理科)∵ M為PB的中點，∴， 　　∴， 　　∵