Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+ax2-bx（a，b∈R），若y=f（x）圖象上的點（1，

11

3

）處的切線斜率為-4，求y=f（x）在區間[-3，6]上的最值．

Answer 1

求導函數，f′（x）=x²+2ax-b，
∵y=f（x）圖象上的點（1，-

11

3

）處的切線斜率為-4，
∴f′（1）=-4
∴1+2a-b=-4①
∵f（1）=-

11

3

，∴

1

3

+a-b=-

11

3

②
由①②解得a=-1，b=3，…（6分）
∴f（x）=

1

3

x3-x2-3x，f′（x）=（x-3）（x+1）…（5分）
∴f′（x）=（x-3）（x+1）=0，解得x=-1或3．

x	（-3，-1）	-1	（-1，3）	3	（3，+6）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）		極大值		極小值

∴f（x）_極大=f（-1）=

5

3

，f（x）_極小=f（3）=-9．…（10分）
又f（-3）=-9-9+9=-9，f（6）=72-36-18=18．
∴f（x）在區間[-3，6]上的最小值為f（-3）=f（3）=-9、最大值為f（6）=18．…（12分）