Question

已知：函數．

(I)證明：f(x)與f^－1(x)的交點必在在直線y＝x上．

(II)是否存在一對反函數圖象的交點不一定在直線y＝x上，若存在，請舉例說明；若不存，請說明理由．

(III)研究(I)和(II)，能否得出一般性的結論，并進行證明．

Answer 1

答案：
解析：

解答：(I)y＝2x＋1與其反函數的交點坐標為(－1，－1)，∴f(x)與f－1(x)的交點必在在直線y＝x上． 　　(II)與其反函數y＝x2－1，(x≤0)的交點坐標為()，(－1，0)，(0，－1)，∴原函數圖象與其反函數圖象的交點不一定在直線y＝x上． 　　(III)研究(I)和(II)能得出：如果函數f(x)是增函數，并且f(x)的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線y＝x上； 　　如果函數f(x)是減函數，并且f(x)的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上． 　　證明：設點(a，b)是f(x)的圖象與其反函數圖象的任一交點，由于原函數與反函數圖象關于直線y＝x對稱，則點(b，a)也是f(x)的圖象與其反函數圖象的交點，且有b＝f(a)，a＝f(b) 　　若a＝b時，交點顯然在直線y＝x上． 　　若a＜b，且f(x)是增函數時，有f(b)＜f(a)，從而有b＜a，矛盾；若b＜a且f(x)是增函數時，有f(a)＜f(b)，從而有a＜b，矛盾． 　　若a＜b，且f(x)是減函數，有f(b)＜f(a)，從而a＜b成立，此時交點不在直線y＝x上；同理，b＜a且f(x)是減函數時，交點也不在直線y＝x上． 　　綜上所述，如果函數f(x)是增函數，并且f(x)的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點一定在直線y＝x上； 　　如果函數f(x)是減函數，并且f(x)的圖象與其反函數的圖象有交點，則交點不一定在直線y＝x上．

提示：

分析：問題(I)易于解答，而問題(II)解答必須認真思考f(x)的性質，從性質的差異去尋求特例．問題(III)的證明著眼于函數單調性的差異解答． 　　說明：試題緊扣江蘇新考綱，突顯解決問題的探索性和研究性．試題難度較大．